МОУ «Иловай-Дмитриевская средняя общеобразовательная школа».

Первомайского района Тамбовской области

Историко-математическая конференция.

«Золотое сечение» в архитектуре русских храмов.

ФИО педагога: Рыжкова Вера Ивановна

Год обучения: 2009-2010

Возраст детей: 14-15лет.

Цель: рассмотрение «золотого сечения» с теоретической точки зрения (пропорции «золотого сечения» и их соотношения) и в объектах окружающего мира (архитектуре русских храмов).

Задачи:

Расширить представление учащихся о «золотой» пропорции как основе пропорционального строя архитектурных шедевров;

Показать детям сферу применения математики не только в естественных науках, но и в такой области реальной жизни, как архитектура;

Расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства с храмами Древней Руси и жемчужной архитектуры – храмом Покрова на Нерли.

Разносторонне развитие детей; эстетическое восприятие храмов;

Развитие познавательной мотивации и познавательного интереса к предмету с точки зрения дальнейшей перспективы (возможности применения полученных знаний в профессиях архитектора, инженера-строителя);

Передача исторического опыта поколений.

Участники мероприятия: члены кружка «Иловай-Дмитриевская средняя общеобразовательная школа».

Оформление и оборудование:

Высказывания (размещены на доске):

«Дух геометрического, математического порядка будет хозяином судеб архитектуры». Ле-Корбюзье (знаменитый зодчий).

«Нет идеальной красоты без некоторой странности прохожих». Ф Бэкон.

Иллюстрации храмов Древней Руси:

Софийские соборы в Киеве и Новгороде, церковь Вознесения в Коломенском, храм Василия Блаженного в Москве;

Репродукции:

Портрет Андрея Боголюбского, иконы «Богоматерь Владимирская»;

Историческая карта: Владимиро-Суздальское княжество.

Приложение: Презентация «Золотое сечение в архитектуре русских храмов» (слайды 1-27) .

Вступление

«Золотое сечение» в математике и архитектуре:

а) понятие «золотое сечение»;

б) алгебраическое нахождение «золотого сечения»;

в) геометрическое построение «золотого сечения»;

г) «золотое сечение» в пропорциях Парфенона, «золотое сечение» и древнерусские сажени.

3. Архитектура Древней Руси:

а) «золотое сечение» в построении крестово-купольных храмов православной Руси;

б) белокаменное зодчество в строительстве русских храмов Владимиро-Суздальской Руси (княжение Андрея Боголюбского);

в) церковь Покрова на Нерли – жемчужина архитектуры Владимиро-Суздальской Руси.

Справочный материал: «Пропорция» (от латинского слова proportio) означает «соразмерность», определенное соотношение частей между собой.

Ход мероприятия.

Вступление

Читает ученик: О, светло-светлая и прекрасно украшенная, земля Русская!

Многими красотами прославлена ты…

Всем ты преисполнена, земля Русская…

Сильна ты святынями своими, культурой древнерусской.

На доске вывешены иллюстрации русских храмов X - XII в. в.:

Софийский собор в Киеве, Софийский собор в Новгороде, церковь Вознесения в Коломенском, храм Василия Блаженного в Москве.

Учитель. Ребята, посмотрите внимательно на иллюстрации… Перед нами русские храмы-шедевры мирового зодчества, построенные в X-XII в.в. Вглядитесь в них… Они поражают нас своей красотой и совершенством… Чем дольше смотришь на них, тем глубже проникаешься чувством гордости за нашу Родину – Россию – Русь, ее историю.

Сегодня мы узнаем, что красота этих шедевров, их величие лежат в основе использования в построении математических расчетов – пропорциональных отношений.

Очень давно, до начала нашей эры, люди строили прекрасные здания с весьма целесообразными пропорциями. Неотступно следуя вечным законам геометрии, архитекторы древности достигли гармонии и совершенства возводимых ими храмов, которые не назовешь иначе как жемчужинами зодчего искусства.

Долгое время считалось, что древние зодчие строили все на глазок, без особых расчетов. Но исследования ученых показали, что они знали пропорции и строили с помощью определенных расчетов, содержащих сложную систему математических отношений.

Каждая постройка была пронизана математической системой, которая определяла форму кирпичей, толщину стен, радиусы арок и общие размеры здания.

Познакомимся с одной из самых важных пропорций, которая часто встречается в произведениях искусства – архитектуре.

Появляется ученица в одежде царицы Математики, с эмблемой пропорции.

Пропорция. Я не просто пропорция, я «золотая пропорция» или «золотое сечение», так назвал меня известный художник Леонардо да Винчи. А его друг математик монах Лука Пачоли назвал меня «божественной пропорцией». Грекам я заменила теорию действительного числа и, таким образом, помогла им создать их научный шедевр - геометрию.

В архитектуру я вношу гармонию. Точнее я – душа гармонии. Нельзя достаточно превознести мое значение: во мне слава архитектора, прочность сооружения и чудеса искусства. И вообще в свой адрес я слышу много комплиментов. Так, когда я вступаю в образе «золотого сечения» один из моих наиболее горячих поклонников немецкий поэт и философ Адольф Цейзинг уверяет, что я просто господствую в природе. А знаменитый Иоганн Кеплер сказал: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».

2. «Золотое сечение» в математике и архитектуре.

Учитель. (Показ слайдов 1,2)

а) рассмотрим основные сведения, касающиеся знаменитой пропорции. «Золотая пропорция» или «золотое сечение» - это деление отрезка в среднем и крайнем отношении, т.е. деление отрезка на две неравные части, при котором большая часть относится к целому так, как меньшая часть к большей. Как же получается?

Объяснение на доске.

Учитель.

б)возьмем произвольный отрезок АВ. Найдем на нем точку С, которая делит отрезок в таком отношении: АС:АВ=СВ:АС

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину отрезка АС через х, то длина отрезка СВ равна а-х. Пропорция примет вид

х\а=(а-х)\х

В пропорции, как известно, произведение крайних членов рав-но произведению средних и пропорцию перепишем в виде х 2= а(а-х). Получаем квадратное уравнение:

х 2 + ах - а 2 = О.

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней

Х 1,2 =(-а±√а 2 +4 а 2)/2

следует выбрать положительный х=(-а+√5а 2)/2 или х=(√5-1)а/2

Это и есть коэффициент золотого сечения.

Он обозначается греческой буквой φ в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился в начале V века до н.э.), в творениях которого золотое сечение встречается многократно.

Число иррациональное, но на практике пользуются округленным значением равным 0,62.Если АВ=а, тоАС=0,62а, СВ=0,38а.

Таким образом, части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

в) как геометрически, с помощью циркуля и линейки, разделить отрезок АВ в отношении «золотого сечения». Ведь древние зодчие не знали алгебры? (Показ слайда 3) .

На отрезке АВ из точки В восстановим перпендикуляр к АВ, длина которого в два раза меньше длины АВ, т.е. BD=1/2АВ. Далее соединим точки А и D. Из точки D как из центра проведем окружность радиуса BD. Она пересечет гипотенузу в точке Е. Длина гипотенузы равна 5 (по т.Пифагора). Длина отрезка АЕ равна√ 5-1. Из точки А проведем окружность радиуса АЕ. Она пересечет окружность в точке С. Если теперь найдем отношение АС:АВ, то оно будет равно(√5-1)/2 .

Сообщение учащихся

Ученик. Принято считать, что понятие о «золотом сечении» ввел научный обиход Пифагор, который позаимствовал знание о нем у египтян и вавилонян во время своих путешествий. Платон посвятил свой диалог «Тимей» математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора, в частности вопросам золотого сечения. (Показ слайда 4) .

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.) – храм в Афины.

Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам наслаждение. Секрет гармонии Парферона кроется в соотношениях его частей. «Золотые пропорции» присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парферона. При его раскопках были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. (Показ слайдов 5, 6) .

Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое храм оказывает на зрителя, искали и находили «золотую пропорцию» в соотношениях его частей. На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом «золотого сечения». Если ширину торцевого фасада Парферона принять за 1, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно, между третьей и шестой, между четвертой и пятой. Аналогичные закономерности прослеживаются в построении здания по высоте. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Объединив эти закономерности, получаем прогрессию 1.

Архитектура Древней Руси.

а) «золотое сечение» в построении крестово-купольных храмов

Ученик. Русское искусство эпохи Средневековья, начиная с X века и вплоть до XII столетия, неразрывно связано с Церковью и христовой верой, которую наш народ называл православной.

Как много великолепных храмов, украшенных мозаиками, росписями (фресками), иконами, было возведено на Руси. В странах православного христианства в Х-ХII веках строили крестово-купольные храмы с четырьмя или шестью столбами внутри. В чем особенность архитектуры таких храмов? (Показ слайда 7,8) .

Столбы, разделяя внутренне пространство, словно вписывают крест в прямоугольник храма, они делят внутренне пространство, как бы вписывают крест в прямоугольник храма, они делят внутреннее пространство на три продольных и три поперечных коридора (галереи) называемые нефами . Центральные нефы шире боковых. На столбах держится барабан с куполом, на них же опираются полуцилиндрические своды, выходящие на фасады в виде завершающих их арок, так называемых закомар .

С восточной стороны здания примыкают три алтарных полукружья, называемые абсидами . Это сильно выступающие на плоскости стен полуцилиндры. Венчает конструкцию крест.

Если спроектировать барабан и купол на основании храма, то они изобразятся кругом, помещенным в центральную часть символического квадрата. В нем ощущается присутствие креста, который пересекает круг – отражение купола.

Архитектура храмов глубоко символична: куб воплощает землю, а купол – небо. В самом храме земля и небо соединяются как в архитектурном строе, так и в сознании людей. Но непросто соединяются, они создают единое пространство, в котором верующие находят покой и надежду, сострадание, утешение, любовь и веру.

При анализе пропорций храма, «золотое сечение» можно встретить в строе храма не один раз. Закону «золотого сечения» подчинены главные вертикали храма, определяющие его силуэт, высота основания и высота барабана, отношение барабана к его высоте, плечей к диаметру барабана и т.д.

В результате такого математического анализа насколько совершенным кажутся творения древних зодчих, сколько в них тонкой гармоничной изящности. Как прочно здесь слились архитектура и математика.

б)Белокаменное зодчество Владимиро-Суздальской Руси

Учитель. Но наиболее значительным в строительстве храмов является белокаменное зодчество Владимиро-Суздальской Руси, сохранившееся до наших дней. Храмы Владимиро-Суздальской Руси поражают благородством форм и пропорций, неповторимой каменной резьбой.

Вывешивается историческая карта Владимиро-Суздальского княжества

(слайд 9).

Ученик3. Город Владимир – столица Владимиро-Суздальского княжества стал крупнейшим очагом русской культуры во время правления князя Андрея Боголюбского, сына Юрия Долгорукова. Большой и тучный князь Юрий Долгорукий меньше всего любил заниматься государственными делами. Предпочитал шумные пиры и буйные веселья. Для охраны границ в городах посадил своих сыновей. А самому храброму и самому бесстрашному Андрею Юрьевичу отдал важную крепость Вышгород.

Князю Андрею в ту пору было 44 года, прожив всю жизнь в Суздале, он чувствовал себя неуютно и непривычно в крепости.

В конце концов, однажды ночью, не известив отца, Андрей Юрьевич тайно ускакал на север, прихватив с собой похищенную икону Божьей Матери, хорошо известную окрест. Андрей держал путь в крепость Владимир на Клязьме.

Неизвестно, чем бы закончилась история, но Юрий Долгорукий был отравлен на пиру и умер.

Так Андрей Юрьевич стал самостоятельным князем и столицей княжества оставляет Владимир.

Репродукции портрета Андрея Боголюбского, иконы Богоматери (слайды 10-13).

У каждого народа есть своя святыня, обладание которой обещает безопасность и благополучие. Такой святыней стала икона Божьей Матери, привезенная из Вышгорода. Приближенные к князю священнослужители начинают охотно и много рассказывать о чудесах, якобы творимых ею. Одно из них, как гласит легенда, случилось неподалеку от Владимира. В 10 км от города кони, которые везли икону, остановились и не могли сдвинуться с места. И тогда князь решил на этом месте заложить храм и рядом построить свой дворец. А место назвать «Боголюбово» - «Любимое Богом» . Храм (Успенский собор) и замок были построены, а князя прозвали Андреем Боголюбским.

Князь Андрей начинает большое строительство в городе Владимире. Возводит вокруг него крепостные стены, а в центе Владимира сооружает новый храм и главные въездные ворота в город, которые называют «Золотыми».

Ученых, изучающих время княжения Андрея Боголюбского, поражает его лихорадочная деятельность по расширению, укреплению и обустройстве своей столицы.

Зодчие, приглашенные Андреем Боголюбским, прекрасно понимали, что они участвуют в большом политическом деле – утверждении силы и могущества нового центра Русской земли. То была твердыня, к которой с почтением относились другие европейские государи. И твердыня эта так чудесно украсилась, что и сейчас мы видим в ее памятниках одно из высоких достижений художественного гения нашего народа. Прошло более восьми столетий, но не угасла память об Андрее Боголюбском. Продолжают свою жизнь и знаменитые памятники его эпохи. В правлении Андрея Боголюбского были возведены шедевры мирового искусства – дворцовый комплекс в Боголюбово, Успенский собор, Дмитриевский собор, Золотые ворота во Владимире и уникальная церковь на реке Нерль близ города Владимира (Показ слайдов 14,15,16) .

Церковь Покрова на Нерли – жемчужина архитектуры Владиимиро-Суздальской Руси.

Учитель. Храм Покрова на Нерли является самым совершенным храмом созданным на Руси. И сейчас мы совершим небольшое путешествие в церковь Покрова на Нерли (Показ слайдов 17,18) .

Двое учащихся поочередно комментируют показ слайдов.

Ученик 1. Немеркнущий, белокаменный храм, как лебединая песня.

Ученик 2. Изящный, стройный, совершенный, неописуемый, обязательный, невесомый – этими и другими восторженными эпитетами сопровождают описание прославленного храма Покрова на Нерли.

Ученик 1. Он стоит среди заливных лугов над тихим озером, в котором живет его опрокинутое отражение.

Ученик 2. Церковь Покрова на Нерли – шедевр мирового зодчества, вершина творчества владимирских метров эпохи расцвета Владимиро-Суздальского княжества (Показ слайда 19) .

Ученик 1. Предание гласит, что князь Андрей Боголюбский построил храм Покрова на Нерли в честь победоносного похода владимирских полков на болгар и в память о гибели в этом походе своего сына Изяслава. Вероятно, поэтому светлой грустью веет от этой уединенно стоящей на берегу Нерли церкви (Показ слайда 20) .

Ученик 2. В то же время храм был посвящен новому на Руси празднику Покрова Богородицы. Этот праздник призван был свидетельствовать об особом покровительстве Богородицы Владимирской земле.

Таким образом, посвященный одновременно различным событиям храм стал монументом царственной красоты (Показ слайда 21) .

Ученик 1. Место для церкви, пойменный луг при впадении Нерли в Клязьму, указал сам князь Андрей Боголюбский. Так как здесь разливалось широкое половодье, специально под храм сооружено высокое основание – искусственный холм из глины и булыжного камня, в котором был заложен фундамент будущей постройки (Показ слайда22) .

Ученик 2. Конструктивно храм Покрова на Нерли очень прост – это обычный для древнерусского зодчества одноглавый крестово-купольный четырехстолпный храм. Но строители церкви сумели воплотить в ней совершенно новый художественный образ. Незаметно для глаза стены церкви наклонены внутрь и таким образом зрительно увеличивают высоту (Показ слайда23) .

Ученик 1. Церковь велика и удивительно гармонична. Полуцилиндры (апсиды) утоплены в тело храма, и восточная (алтарная) часть не перевешивает западную (Показ слайда24) .

Ученик 2. Вертикальное устремление постепенно и незаметно переходит в полукруглые очертания закомар. Полукружиям закомар вторят завершения изящно вытянутых окон, вытянутый барабан купола, аркатурный пояс из удлиненных полосок усиливает впечатление вытянутости, удлиненности храма (Показ слайда26) .

Ученик 1. Рез чики, украсившие церковь покрова, сделали первые, но блистательные шаги на пути владимиро-суздальского пластического искусства от единичных рельефных изображений до грандиозных скульптурно-декоративных ансамблей на стенах Дмитриевского собора во Владимире. Стены храма украшены белокаменной резьбой, характерной для владимиро-суздальского зодчества (Показ слайда 26).

Ученик 2. Храм Покрова на Нерли по лаконичности и совершенству форм сравнивают с древнегреческими храмами.

Ученик 1. Во всей русской поэзии, давшей миру столько непревзойденных шедевров, нет памятника лиричнее, чем церковь Покрова на Нерли.

Ученик 2. Как точно и естественно вписано строение в окружающий пейзаж – луговое среднерусское раздолье, где растут духмяные травы, лазоревые цветы и звучат нескончаемые песни жаворонков…

Ученик 1. «Музыка, застывшая в камне» - так называют храм Покрова Богородицы, стоящей на живописном берегу реки Нерль. Жемчужина древнерусского зодчества поражает своим совершенством… Как прочно в ней слились архитектура и математика.

Ученик 2. Точные пропорции и старинные меры образуют своеобразный «математический каркас» церкви. А детальный анализ постройки с помощью геометрических инструментов и вычислений подтверждает неразрывное единство математики и искусства.

Ученик 1. Отвлечемся от математики и взглянем на церковь как на прекрасное произведение искусства, гармонично вписывающееся в природный пейзаж. Церковь стоит на острове, который образовался в результате таяния снегов. Кругом вода, деревья стоят застывшие, и только церковь, будто хрупкий белый кораблик, плывет по широкой глади образовавшегося моря.

Ученик 2. В воздухе пахнет весной. Кругом удивительная тишина, покой и умиротворение. Они словно охраняют людей от темных злых сил. И не смеет пребывающая вода затопить и разрушить его архитектурное великолепие. Математическая мелодия архитектурных форм застыла в статичном целомудрии (Показ слайда 27, пауза) .

Ученик читает. Мы пришли с тобой и замерли

И забыли все слова

Перед белым чудом на Нерли,

Перед храмом Покрова,

Что не камен, а из света весь,

Из любовей, из молитв…

Учитель. Подобные шедевры могли возникнуть только на русской земле, олицетворяя тот идеал красоты, который сложился и достиг столь замечательного расцвета в тогдашнем главном центре этой земли. Ведь именно этих памятниках раскрывается душа нашего народа, любовь к родной земле, красоту которой они были призваны увенчать не только для своего времени, но и для всех последующих поколений русских людей, славя в ней красоту Вселенной.

Ученик читает. Россия, Русь-

Куда я не взгляну!

За все твои страдания и битвы

Люблю твою, Россия, старину,

Твои леса, погосты и молитвы,

Люблю твои избушки и цветы,

И небеса, горящие от зноя

И шепот ив у омутной воды,

Люблю навек, до вечного покоя.

Россия, Русь-

Храни себя, храни!

В ходе проведения данной эстетико-математической конференции члены кружка знакомятся с взаимосвязью математики и архитектуры. При подготовке мероприятия дети провели небольшое самостоятельное исследование по вопросам конференции, где им пришлось провести самостоятельный поиск информации. Дети работали со справочниками, научно-популярной литературой, информацией Интернета.

Роль руководителя состоит в консультационной работе и совместной обработке теоретических материалов.

При ознакомлении с теоретическим материалом, касающемся понятия «золотого сечения», наиболее эффективно сообщение учителя, сопровождающееся демонстрацией необходимых репродукций и информацией Интернет-сети.

При ознакомлении с архитектурой храмов Владимиро-Суздальской Руси и, в частности, с храмом Покрова на Нерли, наиболее эффективны выступления детей. Самостоятельность освещения этих вопросов, позволит расширить представления о сферах применения математики, повысить общекультурный кругозор. Важно, чтобы это мероприятие стало своеобразным толчком в развитии интереса к предмету, вызывало желание знать больше и побудило у детей интерес к будущей профессиональной деятельности.

Литература.

1. Учительская газета.№ 13, 2006г. А. Азевич. Музыка, застывшая в камне.

2. «Математика в школе» . Журнал №8, 2007г. О.Б.Вергазова. Золотая пропорция: от древнерусских саженей до современного дизайна.

3. Бендукидзе А.Д.Журнал «Квант», №8,1973г.

4. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая. Геометрия:красота и гармония. Издательство «Учитель», 2006г.

5./countries/europe/russia/main.htm?right=/countries/europe/russia/fotos/nerli1.htm

храмов

Выполненные древне- русскими художниками. «Я смотрю на величест- венные росписи древнерусских храмов , и меня... в довоенные годы были изданы книги о золотом сечении в архитектуре : Н. Вру- нов. Пропорции античной и средневековой...

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Золотое сечение ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С.Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Применение золотого сечения "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С.Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Содержание Понятие «золотого сечения» «Золотое сечение» отрезка «Золотой» прямоугольник «Золотой» треугольник Пятиконечная звезда «Золотое сечение» в анатомии «Золотое сечение» в скульптуре «Золотое сечение» в современной архитектуре «Золотое сечение» в древней архитектуре

Cлайд 3

Золотое сечение Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку. Соотношение это примерно равно 0,618. a: b = b: c или с: b = b: а. Формула

Cлайд 4

«Золотое сечение» отрезка Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Свойства золотого сечения описываются уравнением: x*х – x – 1 = 0. Решение этого уравнения:

Cлайд 5

«Золотой» прямоугольник Если от прямоугольника отрезать квадрат, опять останется “золотой” прямоугольник, и этот процесс можно продолжать бесконечно. А диагонали первого и второго прямоугольников пересекутся в точке О, которая будет принадлежать всем получаемым “золотым” прямоугольникам.

Cлайд 6

«Золотой» треугольник Длины биссектрис углов при его основании равны длине самого основания.

Cлайд 7

Пятиконечная звезда Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой “золотой” треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения

Cлайд 8

«Золотое сечение» в анатомии Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, а нижняя часть лица - ртом.

Cлайд 9

«Золотое сечение» в скульптуре Золотая пропорция статуи Аполлона: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Cлайд 10

Cлайд 11

«Золотое сечение» в современной архитектуре Пропорции Покровского собора на Красной площади в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения. Многие члены этого ряда повторяются в затейливых элементах храма многократно.